Cálculo de las Alturas del Relieve Lunar
Esta Actividad ha sido propuesta por Alejandro Benitez Llambay y Pablo Benitez Llambay y será coordinada por ellos. Los que deseen participar de la misma pueden contactarlos a la siguiente dirección. e-mail: relievelunar@gmail.com
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C´
alculo de las alturas del relieve lunar
Alejandro Ben´ıtez Llambay, Pablo Ben´ıtez Llambay
Febrero - 2008
Actividad a realizarse en el marco del AIA2009 - Argentina
Web: www.astronomia2009.org.ar
E-mail: relievelunar@gmail.com
1
1
Resumen
1.1
Introducci´
on
La presente actividad pretende acercar la astronom´ıa a la mayor cantidad de
personas que posean conocimientos b´
asicos de geometr´ıa eucl´ıdea. Si bien la
astronom´ıa est´
a en boca de muchas personas y muchos conocen aspectos que
a ella le competen, la realidad es que la m´ınima parte de ´
estas se dedican a
elaborar conclusiones a partir de sus observaciones.
Hace 400 a˜
nos Galileo miraba por primera vez la Luna a trav´
es de su rudi-
mentario telescopio y descubr´ıa que ´
esta realmente no era una superficie lisa.
Las personas siempre han sentido una gran curiosidad por los objetos celestes,
y mas a´
un la Luna. El primer gran problema con el que se enfrentaron fue
imaginarse qu´
e era. Luego hab´ıa que saber a que distancia se encontraba, y,
sabiendo qu´
e era y como lucia su superficie, la pr´
oxima pregunta ser´ıa qu´
e tan
distinta es a la tierra. Esto llev´
o claramente a preguntarse cual es el parecido
entre ambas supericies. Para ello era necesario poder determinar o estimar de
alg´
un modo la altura de sus monta˜
nas.
La propuesta es justamente partir de esta inquietud. Observar la Luna y
ver en ella una superficie con relieves, ver un cuerpo f´ısico que est´
a ah´ı para su
estudio.
Queremos acercar a las personas una visi´
on cr´ıtica y cient´ıfica de la as-
tronom´ıa. Motivar a no quedarse solo en las observaciones y tratar de obtener
algo a partir de ellas utilizando conocimientos de escuela media, orden´
andolos,
y no perdiendo de vista el resultado que uno busca.
Muchos pueden pensar que para poder determinar la altura de alg´
un re-
lieve lunar es necesario contar con un gran telescopio y varios instrumentos de
medici´
on accesibles s´
olo para los cientificos. Veremos que ´
esto no es cierto y
que con un equipo chico y sin invertir mucho dinero, cualquiera puede hacerlo
incluso desde su casa. Lo m´
as importante siempre es el planteo del problema,
saber donde mirar. El resto forma parte de la soluci´
on.
Un seguimiento por parte de alumnos de escuelas medias de los razonamien-
tos geom´
etricos que permiten la resoluci´
on de este problema puede ser muy
motivante. Ayudar´ıa a mejorar la comprensi´
on en la resoluci´
on de problemas,
a acercarlos a la astronom´ıa y ayudar´ıa a comprender como realizar un estudio
que permita obtener resultados concretos.
Alentamos a todos aquellos que quieran hacer un estudio de la superficie
lunar sin utilizar pr´
acticamente instrumentos de medici´
on. El gran problema
con el que uno se encuentra siempre es la falta de materiales y la desiluci´
on que
´
esto genera. Con esta propuesta queremos ense˜
nar que lo primero que hay que
hacer es tener una inquietud, un problema que uno realmente quiera solucionar,
y luego buscar de alg´
un modo la soluci´
on.
Galileo, en su tiempo tuvo una inquietud, utliz´
o lo que ten´ıa a disposici´
on
y fabric´
o lo que no ten´ıa. Si uno quiere determinar la altura de un relieve
cualquiera en la Luna lo primero que tiene que hacer es realmente querer hacerlo,
luego encontrar la manera, y veremos que realmente podemos hacerlo a muy bajo
2
costo y careciendo pr´
acticamente de intrumental.
1.2
Resumen del m´
etodo
El m´
etodo y el desarrollo matem´
atico que utilizaremos para el c´
alculo de las
alturas del relieve lunar se puede consultar en [1]. Si bien no explicaremos en
este resumen los detalles matem´
aticos del m´
etodo, podemos decir que la idea es
que si tenemos un tri´
angulo rect´
angulo y podemos conocer al menos un lado y
un ´
angulo, podemos conocer todo acerca del tri´
angulo.
Si pensamos en una montana veremos que la punta de ´
esta, su base, y la
sombra que proyecta sobre el piso, determinan un tri´
angulo rect´
angulo:
Figura 1:
cumpli´
endose que:
tan λ =
y
x
3
donde λ es el ´
angulo que los rayos del sol forman con el horizonte lunar. y es
la altura del relieve que nos interesa y x es la longitud de la sombra proyectada
por dicho relieve.
Por lo tanto, para determinar la altura de cualquier relieve, solo basta medir
el ´
angulo λ y la sombra x que proyecta sobre el suelo.
Si estuvieramos parados sobre la Luna esto ser´ıa relativamente sencillo, ya
que podr´ıamos levantar la cabeza hacia el Sol y determinar la altura de ´
este
sobre el horizonte. No obstante veremos que es posible determinar ´
este ´
angulo
desde la tierra vali´
endonos de mediciones indirectas.
La informaci´
on sobre la altura del sol sobre el horizonte nos la d´
a la distancia
del relieve al terminador lunar. El terminador es la regi´
on lunar en donde el sol
se encuentra a 0
o
de altitud sobre el horizonte. Es decir, el punto donde comienza
la oscuridad lunar (la fase). Esta medici´
on es posible realizarla conociendo el
di´
ametro lunar, que se puede determinar conociendo la distancia que nos separa
de la Luna y el di´
ametro apartente de ´
esta. El ´
angulo λ est´
a dado por:
λ[
o
] =
d
t
.360
o
P
donde d
t
es la distancia al terminador y P el per´ımetro lunar en la latitud
donde se encuentra el relieve que interesa. Es decir:
P = π.d
l
. cos ψ
donde d
l
es el di´
ametro lunar y ψ es la latitud lunar en la que se halla el
relieve.
Para determinar el di´
ametro lunar necesitaremos conocer la distancia a la
que se encuentra la Luna y el di´
ametro aparente de ´
esta. Conociendo estos
datos, tenemos que:
d
l
= 2r tan
1
2
α
donde r es la distancia a la Luna y α es su di´
ametro aparente.
Para conocer el di´
ametro aparente lunar as´ı como la distancia al terminador
nos valdremos de astrofotograf´ıas lunares que pueden ser obtenidas con una
webcam de bajo costo. La manera de calibrar la webcam para realizar las medi-
ciones se puede consultar en [2]. No obstante, daremos una explicaci´
on detallada
de como hacerlo. La manera en la que se realizan las mediciones consiste en
un conteo de p´ıxeles. Por lo tanto es necesario determinar lo mejor posible la
equivalencia entre los p´ıxeles de la fotograf´ıa y las magnitudes angulares uti-
lizadas.
Del mismo modo que determinamos la distancia al terminador, podemos
determinar la longitud de la sombra sobre la superficie lunar.
La distacia que separa al cr´
ater del terminador est´
a dada en primer aproxi-
maci´
on por:
4
d
t
=
φ.d
l
α
donde φ es la distancia angular del relieve al terminador y α es el di´
ametro
aparente lunar.
Del mismo modo, la longitud de la sombra est´
a dada por:
x =
.d
l
α
d´
onde
es la distancia angular del supuesto punto m´
as elevado del relieve
al extremo m´
as alejado de la sombra que proyecta sobre la superficie lunar.
Si bien los argumentos antes expuestos no ayudan mucho a la comprensi´
on
del m´
etodo sin´
o solo a tener una idea aproximada de como se trabajar´ıa, desta-
camos lo siguiente.
Es factible calcular la altura de cualquier relieve lunar tan solo realizando 4
mediciones:
• La distancia Tierra - Luna.
• El di´
ametro aparente de la Luna.
• La distancia angular del relieve al terminador.
• La longitud angular de la sombra que proyecta el relieve.
Hay que tener en cuenta que si uno supone bien conocidos la distancia
Tierra - Luna y el di´
ametro aparente de ´
esta, datos que est´
an publicados en
la efem´
erides, el problema se reduce realizar solo dos mediciones sobre la Luna.
Por lo que ser´ıa una actividad viable para desarrollarse en cualquier escuela de
nivel medio con alumnos que posean conocimientos de trigonometr´ıa o insti-
tuci´
ones aficionadas, y los resultados ser´ıan realmente buenos.
La falta de instrumentos espec´ıficos de medici´
on no debiera ser un impedi-
mento a la hora de poner en pr´
actica esta actividad.
Para poder hacer las mediciones se necesita que la luna tenga alguna fase,
por lo que salvo unos pocos d´ıas al mes, la actividad se puede llevar a la pr´
actica
en cualquier momento siempre que las condiciones meteorol´
ogicas lo permitan.
El calibrado de la c´
amara destinada a realizar las fotograf´ıas se realiza por
´
unica vez y el posterior an´
alisis de las mismas puede hacerse en cualquier mo-
mento durante el d´ıa, por lo que la actividad se puede llevar a la pr´
actica
durante todo el ano mejorando las mediciones y catalogando los relieves lunares
dependiendo de las inquietudes de cada uno.
Si bien creemos que es muy importante leer y entender como se resuelve el
problema, para facilitar los c´
alculos est´
a disponible en internet un software que
permite ingresar las mediciones para obtener la alutra deseada. Una vez enten-
dido el problema se puede hacer uso de ´
el. El mismo se encuentra disponible
junto con un pequeno instructivo en:
http://personales.ciudad.com.ar/astrojujuy/descargas
5
1.3
Materiales necesarios
• Un telescopio chico: Un telescopio de cualquier tipo, ya sea reflector o
refractor con aberturas mayores a 76mm y distancias focales superiores a
600mm.
• Una webcam: Para realizar las mediciones sin utilizar instrumentos cos-
tosos destinados a tal fin haremos uso de astrofotograf´ıas lunares. Para
esto se puede utilizar una webcam y utilizar el software Registax, de dis-
tribuci´
on gratuita en internet, que permite mejorar de manera notable la
calidad de las im´
agenes.
La manera de realizar las fotograf´ıas se explicar´
a en detalle.
• Una computadora: Las mediciones sobre las fotograf´ıas que se obtengan
se pueden ralizar directamente en cualquier computadora que disponga de
un software de edici´
on gr´
afica, haciendo un conteo de p´ıxeles. Adem´
as se
requiere la computadora para obtener las fotograf´ıas.
1.4
Demostraciones
Para alentar a las personas al desarrollo de la actividad exponemos algunas
fotograf´ıas que se utilizaron para hacer mediciones obtenidas con un telescopio
reflector de 130mm de apertura y una distancia focal de 900mm. La webcam
que se utiliz´
o para tomarlas es una Logitech QuickCam Pro 3000. La resoluci´
on
lograda es muy buena y los resultados obtenidos son muy gratificantes. Los
invitamos a sumarse a la propuesta.
6
Figura 2: Cr´
ater Albategnius. Se ven las l´ıneas I y II correspondientes a lo que
ser´ıan las mediciones de la sombra proyectada por el relieve y la distancia de
´
este al terminador respectivamente
Figura 3: Cr´
ater Cop´
ernicus. Se distinguen perfectamente las sombras proyec-
tadas por los relieves
7
Referencias
[1] BENITEZ LLAMBAY, A.,BENITEZ LLAMBAY, P. (2007), ”C´
alculo
de las alturas del relieve lunar”, Revista de educaci´
on matem´
atica. Vol.
22, nro. 1. Universidad Nacional de C´
ordoba. pp 10-24.
[2] BENITEZ LLAMBAY, A.,BENITEZ LLAMBAY, P. (2006), ”De la
Tierra a la Luna”, Selenograf´ıa: Calculando alturas con instrumental
b´
asico. Revista Astron´
omica nro. 273. Asociaci´
on Argentina Amigos de
la Astronom´ıa. pp 36-38.
8
Contenido del Archivo
y mas a´
alg´
algo a partir de ellas utilizando conocimientos de escuela media, orden´
medici´
incluso desde su casa. Lo m´
que permita obtener resultados concretos.
y luego buscar de alg´
luego encontrar la manera, y veremos que realmente podemos hacerlo a muy bajo
este resumen los detalles matem´
x
por dicho relieve.
2
webcam de bajo costo. La manera de calibrar la webcam para realizar las medi-
ciones se puede consultar en [2]. No obstante, daremos una explicaci´
un conteo de p´ıxeles. Por lo tanto es necesario determinar lo mejor posible la
equivalencia entre los p´ıxeles de la fotograf´ıa y las magnitudes angulares uti-
lizadas.
nivel medio con alumnos que posean conocimientos de trigonometr´ıa o insti-
tuci´
dependiendo de las inquietudes de cada uno.
dido el problema se puede hacer uso de ´
600mm.
esto se puede utilizar una webcam y utilizar el software Registax, de dis-
tribuci´
un software de edici´
reflector de 130mm de apertura y una distancia focal de 900mm. La webcam
que se utiliz´
invitamos a sumarse a la propuesta.
´
b´
